TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 08 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 08-04
Chứng minh các hệ thức tổ hợp.
Bài 1 : Chứng minh rằng với
, ;2k n k n
∈ ≤ ≤
¥
luôn có:
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
Bài 2 : Chứng minh rằng:
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
Bài 3 : Tính giá trị của biểu thức sau:
0 2009 1 2008 2010 2009 0
2010 2010 2010 2009 2010 2010 2010 1
k k
k
S C C C C C C C C
−
−
= + + + + +
Bài 4 : Với n, k là số nguyên dương và
1 k n
≤ ≤
. Chứng minh rằng:
0 1 1 2 2
1 2 0
( 1) 0
k k k k n k
n n n n n n n
C C C C C C C C
− − −
− −
− + − + − =
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 08-04
Bài 1 : Chứng minh rằng với
, ;2k n k n
∈ ≤ ≤
¥
luôn có:
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
Giải:
( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 3 4
1 2 3 1 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 3 3
ó : 3 3
3 3 2
2
k k k k k k k k
n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c VT C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C
− − − − − − −
− − − − − − − −
+ + + + + + + + + +
− − − − − −
+ + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + = + + + + +
= + + = + + + = +
1
4
k
n
C VP
DPCM
+
= =
⇒
Bài 2 : Chứng minh rằng:
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
Giải:
( )
1 2 1 1 2 1 2 2
1 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3
1 2 3 1 2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2 2
ó : 2
3 3 2
2
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + = + + + = + =
+ + + = + + + + +
= + + = + + + = + =
3
3
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k
n
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+
+
+ + + + +
+ +
⇒ + + + = +
Bài 3 : Tính giá trị của biểu thức sau:
0 2009 1 2008 2010 2009 0
2010 2010 2010 2009 2010 2010 2010 1
k k
k
S C C C C C C C C
−
−
= + + + + +
Page 2 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Giải:
( )
( )
( ) ( )
( )
2009
2010 2010
2009
0 1 2009 2009 2010
2009 2009 2009 2009
2010 !
2010! 2010! 2010.2009!
ó : .
! 2010 ! (2009 )! ! 2009 ! ! 2009 !
2010
2010 2010(1 1) 1005.2
k k
k
k
k
k
Ta c C C
k k k k k k k
C
S C C C C
−
−
−
= = =
− − − −
=
⇒ = + + + + + = + =
Bài 4 : Với n, k là số nguyên dương và
1 k n
≤ ≤
. Chứng minh rằng:
0 1 1 2 2
1 2 0
( 1) 0
k k k k n k
n n n n n n n
C C C C C C C C
− − −
− −
− + − + − =
Giải:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
!
! ! !
. .
! ! ! ! ! ! ! !
1
0 1 2 2
1
ó: .
.
0 1 1 2 2 2
1
1 2 0
0 1 1 2 2
( 1)
1 2 0
n m
k n n
m k m k n k m n m k m n k
Thay x
k
k k
x C C x C x C x
k k k k
m k
Ta c C C
n
k
m k m
C C
n n m
k
k k k k k n k k
C x C C C C x C C x C C x
n n n n n n
n n
k k k k n
C C C C C C C C
n n n n n
n n
−
=
− − − − −
=
⇒
= − ⇒
+ = + + + +
=
−
−
− − −
+ = + + + +
− −
− −
− + − + −
− −
0
k
DPCM
−
= ⇒
• BTVN NGÀY 09-04
Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:
1 1
1
: : 6 :5: 2
y y y
x x x
C C C
+ −
+
=
Giải:
Page 3 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Điều kiện:
1
1
1 1
0 1
(1)
1
6 5
0 1
1
0 1
(2)
5 2
1 ( 1)! 1 !
(1) . . 5( 1)( 1) 6( )( 1)
6 !( 1)! 5 ( 1)!( 1)!
1 ! 1 !
(2) . . 2( )(
5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)!
y y
x x
y y
x x
C C
y x
y
y x
x y
C C
y x
x x
x y x y x y
y x y y x y
x x
x y x
y x y y x y
+
+
+ −
≤ ≤ +
=
≥
≤ + ≤ ⇔ ⇔
≥ +
≤ − ≤
=
+
⇔ = ⇔ + + = − − +
− + + − −
⇔ = ⇔ − −
+ − − − − +
1) 5 ( 1)
5( 1)( 1) 6( )( 1)
5( 1)( 1) 15 ( 1) 1 3
2( )( 1) 5 ( 1)
3 1 ào(4) 2(2 1)(2 ) 5 ( 1) 4(2 1) 5 5
3 8 {(8;3)}
y y y
x y x y x y
x y y y x y
x y x y y y
x y thay v y y y y y y
y x S
+ = +
+ + = − − +
⇔ ⇔ + + = + ⇔ + =
− − + = +
⇒ = − ⇒ − = + ⇔ − = +
⇔ = ⇒ = ⇒ =
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
( )
2 50
,
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
x y
A C
+ =
∈
− =
¥
Giải
Đặt:
2
5 2 80 20
2 50 10
!
20
! 2
( 1) 20
( )!
20 0
!
20
! 2
2
10
( )!
!( )!
5
2
y
x
y
x
a A
a b a
a b b
b C
x
y
x x
x y
x x
x
x y
y
x y
y x y
x
y
=
− = =
⇒ ⇒
+ = =
=
=
=
− =
−
− − =
⇒ ⇒ ⇒ ⇔
=
=
=
=
−
−
=
⇔
=
Bài 3: Giải bất phương trình:
Page 4 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
4 3 2
1 1 2
5
0 ( )
4
n n n
C C A n
− − −
− − < ∈
¥
Giải
Điều kiện:
{ }
2
1 4
1 3 5
2 2
( 1)! ( 1)! 5( 2)! 1 1 5
0 0
( 1)!4! ( 4)!3! 4( 4)! 24 6( 4) 4( 4)
( 1)( 4) 4( 1) 30 0 9 22 0 5 11
5;6;7;8;9;10
n
n n
n
n n n n n
n n n n n
n n n n n n
S
− ≥
− ≥ ⇒ ≥
− ≥
− − − − −
⇒ − − < ⇔ − − <
− − − − −
⇔ − − − − − < ⇔ − − < ⇔ ≤ <
⇒ =
Bài 4: Giải hệ phương trình sau:
( )
2 3
3 2
22
,
66
x y
y x
A C
x y
A C
+ =
∈
+ =
¥
Giải
2 2 2
2
3
3 3 3
2
3
1 1
22
6 132
2! 2
6
ì : . :
1 1 2 132
66
3! 6
2
!
12
12
6 132 12
( 2)!
5 60 !
60
60
( 3)!
x x x
x
y
y x y
x
y
b
C A A
a
a A
a b
V Coi
a b
a
b A
C A A
b
x
A
a b a
x
b a b y
A
x
= =
+ =
=
+ =
⇒ ⇔
+ =
=
= =
+ =
=
=
+ = =
−
⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔
= =
=
=
−
Page 5 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( )
{ }
2
4
( 1) 12 4
( 1)( 2) 60 5
( 5)( 2 12) 0
4;5
x
x x x
y y y y
y y y
S
=
− = =
⇔ ⇔ ⇔
− − = =
− + + =
⇒ =
Bài 5: Giải PT:
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1 ( )
n
n n n
C C C n
+ + +
+ + + = − ∈
¥
Giải
( )
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1 0 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1 0 1 0 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
20 1
2 1
2 1
ì :(1 1)
: ( 0;2 1)
2 2 2
2 1
n
n n n
n n n n
n n n n n
k n k
n n
n n n n
n n n n n n
n
C C C
V C C C C C
Do C C k n
C C C C C C
C
+ + +
+ + +
+ + + + +
+ −
+ +
+
+ + + + + +
+
+ + + = −
+ = + + + + + +
= ∀ = +
⇒ = + + + ⇒ + + + =
⇒ − = +
2 2 20
2 1
2 1 2 2 10
n n n
n
C n
+
+ = − ⇒ = ⇒ =
• BTVN NGÀY 11-04
Bài 1:
Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số
và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu
kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị?
Giải
Giả sử số có 6 chữ số là:
1 2 3 4 5 6
a a a a a a AB=
Trong đó:
6
1 2 3
1
4 5 6
21
10
11
1
k
A a a a
A B k
A
B a a a B
A B
=
= + +
+ = =
=
⇒ ⇒
= + + =
− = −
∑
Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có:
1 3 6 1 4 5 2 3 5A
= + + = + + = + +
Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng
Page 6 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Khi ấy có : 3!.3!=36 cách.
Vậy có tất cả: 3.36=108 (số)
Bài 2:
Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ
số khác nhau.
Giải
Ta có 2 trường hợp sau:
• TH1:
1 2 3 4 5 6
0a a a a a a
Như vậy 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0)
Có:
6
8
20160A
=
• TH2:
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
với
{ }
7
2;4;6;8a
∈
Vậy có 4 cách chọn a
7
Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những số
đứng đầu là số 0.
Vậy có:
6 5
8 7
4( ) 70560A A
− =
Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số)
Bài 3:
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này
xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông:
a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ.
b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông
đỏ?
Giải:
a) Có 3 khả năng xảy ra là:
Page 7 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( )
( )
( )
* 1 ;3 ;3
* 1 ;2 ;4
* 1 ;1 ;5
D T V
D T V
D T V
Vậy có tất cả:
1 3 3 1 2 4 1 1 5
4 3 5 4 3 5 4 3 5
. . . . . . 112C C C C C C C C C
+ + =
b) Cũng có 3 khả năng là:
( )
( )
( )
* 3 ;3 ;1
* 3 ;4
* 4 ;3
V D T
V D
V D
Vậy có tất cả:
3 3 1 3 4 4 3
4 5 3 5 4 5 4
. . . . 150C C C C C C C
+ + =
Bài 4:
Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6
giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi?
Giải:
Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi:
• TH1: ( Không có ổi)
Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có:
4 2
4 6
. 15C C
=
• TH2: ( Có 1 ổi).
Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài.
Vậy có:
1 4 1 1 3 2
2 4 6 2 4 6
. . . 132C C C C C C
+ =
• TH3: (Có 2 ổi).
Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có:
2 3 1
2 4 6
. . 24C C C
=
Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách)
Bài 5:
Page 8 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1
đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ?
Giải:
Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là:
8
15
C
Xét 3 trường hợp:
• Không có nữ: Có
8
10
C
• Có 1 nữ: Có
1 7
5 10
.C C
• Có 2 nữ: Có
2 6
5 10
.C C
Vậy có tất cả:
( )
8 8 1 7 2 6
15 10 5 10 5 10
. . 3690C C C C C C
− + + =
Bài 6:
Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
Giải:
6
1 2 3 4 5 6
1
9 9
k
k
a a a a a a a
=
⇔
÷
∑
M M
Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999
Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng:
1
100017
999999 ( 1) 999999 18( 1) 50000
18
n n
u
u u n d n n
d
=
= ⇒ = − ⇔ = − ⇔ =
=
Vậy có 50000 số thõa mãn.
Bài 7:
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ.
Page 9 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Giải:
Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên:
Khi xét số có 5 chữ số:
1 2 3 4 5
a a a a a
ta có 2 khả năng:
• Nếu
1 2 3 4
a a a a
+ + +
chẵn thì
{ }
5
1;3;5;7;9a
=
• Nếu
1 2 3 4
a a a a
+ + +
lẻ thì
{ }
5
0;2;4;6;8a
=
Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số
1 2 3 4
a a a a
là:
3
9.10.10.10 9.10
=
Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số.
Vậy có tất cả là:
3
5.9.10 45000
=
(Số)
Bài 8:
Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng
Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4
em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?
Giải:
Để lập nhóm ta tiến hành 3 bước:
• Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có
3
8
C
cách
• Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có
4
7
C
cách
• Chọn 2 em biết tiếng Đức từ 5 em: Có
2
5
C
cách
Vậy có tất cả:
3 4 2
8 7 5
. . 19600C C C
=
( Cách)
Bài 9:
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra
3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1
tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy?
Giải:
Ta có:
Page 10 of 11
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét