Giao an

Câu hỏi : Một mặt phẳng có bao nhiêu véctơ pháp tuyến? Vì sao?


n
Nhận xét 1: Nếu là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) thì
véctơ k (k 0) cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ).

n

n


n
k

n
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
Câu hỏi: Một mặt phẳng có hoàn toàn được xác định hay không nếu
chỉ biết một véctơ pháp tuyến n của nó?.

Nhận xét 2: Một mặt phẳng ( ) hoàn toàn được xác định khi biết
một điểm thuộc nó và một véctơ pháp tuyến của nó.

n

M
0
#

n
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
b. Chú ý:
b. Chú ý:
+ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho véctơ a và b không
+ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho véctơ a và b không
cùng phương các đường thẳng chứa chúng cùng song song hoặc nằm
cùng phương các đường thẳng chứa chúng cùng song song hoặc nằm
trên mặt phẳng ( ) thì cũng là một véctơ pháp tuyến
trên mặt phẳng ( ) thì cũng là một véctơ pháp tuyến
của mặt phẳng ( ), khi đó hai véctơ a và b được gọi là cặp véctơ chỉ
của mặt phẳng ( ), khi đó hai véctơ a và b được gọi là cặp véctơ chỉ
phương của mặt phẳng ( ).
phương của mặt phẳng ( ).
]b,a[
n

=




]b,a[
n

=

b

a
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
.
+ Nếu trong mặt phẳng ( ) cho ba điểm M
1
, M
2
và M
3
không thẳng
hàng thì hai véctơ M
1
M
2
và M
1
M
3
là cặp véctơ chỉ phương của mặt
phẳng ( ) và = [M
1
M
2
, M
1
M
3
] là một véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng ( ).

n


Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
M
1
#
M
2
#
M
3
#
Ví dụ: Trong không gian với hệ trục
oxyz. Cho các véctơ sau:
Hãy chỉ ra các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy.
4. = (0 ; 0 ; 5)

n
x
0
z
y

k

j

i
5. = (0 ; 1 ; 1)

m
1. = (0 ; 0 ; 1)

k
3. = (0 ; 1 ; 0)

j
2. = (1 ; 0 ; 0)

i
Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng

Đáp án
Mặt phẳng Oxy có các véctơ pháp tuyến cần
tìm là:
= (0 ; 0 ; 1)
= (0 ; 0 ; 5)

k

n
0
y
j
x
i
k
z
i
0
y
j
x
i
k
i
Cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm M
0
= (x
o
; y
o
; z
o
) và có véctơ pháp
tuyến n = (A; B ; C). Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M = (x; y ; z)
thuộc mặt phẳng ( ).


n
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a. Bài toán:
M
0
#
M
#

Với D = - (Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
)
Giải: Điểm M = (x; y; z) ( ) khi và chỉ khi M
0
M n
M
0
M . n = 0
A (x-x
0
) + B (y-y
0
) + C (z-z
0
) = 0
Ax + By + Cz - (Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
) = 0
Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
0)


n
M
0
M
#
#

n
Ax + By + Cz + D = 0 thì = (A; B; C ) là
một véctơ pháp tuyến của nó.
b. Định lý:
Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x ; y ; z) thoả mãn phư
ơng trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
0) (1)
Ngược lại tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình (1) là một
mặt phẳng.
c. Định nghĩa:
Phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
0) được
gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
d. Chú ý:

n
#Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M
0
= (x
0
; y
0
; z
0
) và có véctơ pháp tuyến
= (A; B; C) thì phương trình có dạng:
A (x-x
o
) + B (y-y
o
) + C (z-z
o
) = 0
#Mặt phẳng ( ) có phương trình tổng quát là :

Xem chi tiết: Giao an