Đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

2 P tí t số trì
ột số ổ ề từ ó ế ị ý í ủ ó ề tr
ủ q tí t số ệ q ủ ó
ị ý t ể r
ị ý (R, m) ị tr M R
ữ s ó ệ ề s t
M
ọ ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số
ồ t ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số
r ò trì ố q ệ ữ
M ể tứ ủ rt t q ị
ý
ị ý D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ọ ề ủ M
t D
i
= D
i
/D
i1
ớ ọ i = 1, . . . , t, D
0
= D
0
. ó ệ ề
s t
M
ớ t ỳ t số tốt q ủ M tứ
l(M/q
n+1
M) =
t

i=0

n + d
i
d
i

l(D
i
/qD
i
)
ú ớ ọ n 0
ồ t t số tốt q ủ M s tứ
l(M/q
n+1
M) =
t

i=0

n + d
i
d
i

l(D
i
/qD
i
)
ú ớ ọ n 0
P ố ù ủ sẽ ự í ụ s tỏ
ết q í ở tr

ế tứ ị
ụ í ủ ột số ế tứ ề số
ợ sử ụ tr ồ ị ĩ ệ ề
ổ ề ề ệ t số í q

ệ t số
r t sẽ r ệ ột số tí t ề ệ
t số ột ệ q trọ sốt q trì tự ệ

ị ĩ (R, m) ị tr M R
ữ s ớ dim M = d tử x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
)
x
i
m , i = 1, . . . , d t l
R
(M/x
M) < ợ ọ ột ệ
t số ủ M
sử (R, m) ị tr M R ữ
s ớ dim M = d ệ ề s ột số tí t
ủ ệ t số


ệ ề ệ ề x
1
, x
2
, . . . , x
t
m ó
dim(M/(x
1
, . . . , x
t
)M) dim M t.
tứ s r ỉ x
1
, x
2
, . . . , x
t
ột ủ ệ t số
ủ M
ệ ề ú ý ế x
1
, . . . , x
d
ệ t số ủ M tì
ớ ọ số
1
, . . . ,
d
t ó x

1
1
, . . . , x

d
d
ũ ệ t số
ủ M
ét
x m ó x ột tử ủ ệ t số ủ M ỉ
x p ớ ọ p Ass R s dimR/p = d
x
1
, . . . , x
d
m ị ở
x
i+1
p, p Ass R(M/(x
1
, . . . , x
i
)M), dim R/p = d i
ớ i = 0, . . . , d 1 ó {x
1
, . . . , x
d
} ệ t số ủ M
ế t t sẽ r ị ĩ ề rt ị ý
tứ rt ột ị ý ổ tế ó ứ ụ ề tr
số r t ỉ ị ĩ ị ý
ù s ứ
ị ĩ M ữ s tr ị
tr (R, m) ớ dim M = d q ị ĩ ủ M tứ
l(M/qM) < ó t ị ĩ ột số ọ r

F
q,M
(n) = l(M/q
n+1
M).

ệ ề ị ý R =

t0
R
t

tr R
0
rt ữ s
sử r R = R
0
[x
1
, . . . , x
r
] x
i
d
i
óF
q,M
(n) ột ữ
tỷ ủ ữ tồ t tứ P
q,M
(n) ớ ệ số ữ tỷ d s
ớ n ủ ớ tì
F
q,M
(n) = P
q,M
(n).
tồ t ữ số e
0
(q, M)(> 0), e
1
(q, M), . . . , e
d
(q, M) s

P
q,M
(n) = e
0
(q, M)

n + d
d

+e
1
(q, M)

n + d 1
d 1

+ã ã ã+e
d
(q, M).
ố e
0
(q, M) ợ ọ số ộ s q s ở ột ệ t
số x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} t ý ệ e
0
(q, M) = e
(
x, M)
í q
r t sẽ trì ột số ệ ề í q ó
ệ ể ị ĩ ộ s ủ ột từ ó ế ị
ĩ ủ
ị ĩ R M R ột
tử x R ợ ọ M í q ế 0 :
M
x = 0 tứ xa = 0 ớ
a M, a = 0 ột tử x
1
, . . . , x
n
ủ R ợ ọ M
í q ế (x
1
, . . . , x
n
)M = M x
i
M/(x
1
, . . . , x
i1
)M í
q ớ ọ i = 1, . . . , n
ệ ề s tí t ủ í q
ệ ề ổ ề M R ó ệ
ề s t

x
1
, . . . , x
n
M í q
x
1
, . . . , x
i
M í q x
i+1
, . . . , x
n

M/(x
1
, . . . , x
i
)M í q ớ ọ 1 i n 1.
ệ ề ị ý ế x
1
, . . . , x
n
M í q
tì ớ ọ số
1
, . . . ,
n
t ó {x

1
1
, . . . , x

n
n
} ũ
M í q
ệ ề ị ý ế x
1
, . . . , x
n
M í q
tì ớ ọ ị ủ tử x
1
, . . . , x
n
t ợ ột M
í q
ệ ề ệ ề ế M R ữ s
tr ị tr x
1
, . . . , x
t
M í q tì
x
1
, . . . , x
t
ột ủ ệ t số ủ M
ớ ị ĩ ề í q tr é ế ệ ộ
s ủ ột ể từ ó ế ệ
ị ĩ I ủ R M R ữ
s s M = IM ó ộ ự ủ M í q ủ
I ọ ộ s ủ I ố ớ R M í ệ depth R(I, M)
ế (R, m) ị tr t ó tể í ệ ộ s ủ R
M depth
R
M ó tể depth M
ệ ề ệ ề (R, m) ị
tr M R ữ s ó ị s
depth M dim R/p dim M, p Ass M
tế t t ệ

ị ĩ M ợ ọ ế
M = 0 M = 0 depth M = dim M. R ọ
ế ó R
ệ ề s tr ủ
ệ ề ị ý ế M
tì ớ p Ass M t ó dim R/p = dim M
ế x
1
, . . . , x
d
m M í q tì M
ỉ M/(x
1
, . . . , x
d
)M
ệ ề ú ý ế M tì
ọ ệ t số ủ M M í q
ổ ề ổ ề N ủ M t
dim N < dim M M/N x
1
, . . . , x
i

ột ủ ệ t số ủ M ó (x
1
, . . . , x
i
)MN = (x
1
, . . . , x
i
)N
ứ ứ q t
ớ i = 1 t ứ x
1
M N = x
1
N ó x
1
N
x
1
M N t ứ x
1
M N x
1
N t y x
1
M N
ó y x
1
M y = x
1
m ớ m M s r y = x
1
m N
x
1
m + N = 0 + N tr M/N tứ x
1
(m + N) = 0 s r m + N = 0
m N ó y = x
1
m x
1
N
sử i > 1 ó (x
1
, . . . , x
i
)N (x
1
, . . . , x
i
)M N (1).
a (x
1
, . . . , x
i
)M N ó a = x
1
a
1
+ ã ã ã + x
i
a
i
tr ó a
j
M
ớ ọ j = 1, . . . , i ì a N a
i
(N + (x
1
, . . . , x
i1
)M) : x
i
t
ì x
1
, . . . , x
i
M/N í q
(N + (x
1
, . . . , x
i1
)M) :
M
x
i
= N + (x
1
, . . . , x
i1
)M

t ó a
i
N + (x
1
, . . . , x
i1
)M a
i
= x
1
b
1
+ ã ã ã + x
i1
b
i1
+ c tr
ó b
j
M j = 1, ã ã ã , i 1 c N r t tết q t ó
a x
i
c (x
1
, . . . , x
i1
)M N = (x
1
, . . . , x
i1
)N
ó a (x
1
, ã ã ã , x
i
)N (x
1
, . . . , x
i
)MN (x
1
, . . . , x
i
)N (2)
ừ t ó (x
1
, . . . , x
i
)M N = (x
1
, . . . , x
i
)N

r t r ị ĩ ột số tí t ề ọ
ề trớ t t ệ ọ
ề ủ
ị ĩ ột ọ ủ M ột ọ
F : M
0
M
1
. . . M
t
= M
tr ó M
i
ủ M ọ F ủ M
ợ ọ t ề ệ ề ế dim M
i1
< dim M
i
ớ ọ
i = 1, 2, . . . , t
ột ọ t ề ệ ề
D : D
0
D
1
. . . D
t
= M
ợ ọ ọ ề ủ M ế ó t 2 ề ệ s
D
0
= H
0
m
(M) ố ồ ề ị tứ 0 ủ M ứ
ớ tố m
D
i1
ớ t ủ D
i
s dim D
i1
< dim D
i
ớ
ọ i = 1, 2, . . . , t

ệ ề s sẽ t t sự tồ t ủ ọ ề
ệ ề ú ý ọ ề ủ M tồ t
t ữ ế D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ọ ề ủ
M ớ dim D
i
= d
i
tì t ó
D
i
=

dim(R/p
j
)d
i+1
N
j
ớ ọ i = 1, 2, . . . , t 1 tr ó
0 =
n

j=1
N
j
tí s t ọ ủ 0 ủ M N
j
p
j

s ớ ọ j = 1, 2, . . . , n
ét N ủ M dim N < dim M ừ ị
ĩ ọ ề tồ t D
i
s N D
i
dim N = dim D
i
.
ó ế F : M
0
M
1
. . . M
t
= M ọ t ề ệ ề
tì ớ ỗ M
j
tồ t D
i
s M
j
D
i
dim M
j
= dim D
i
.
ệ t số tốt ột ệ q trọ ợ sử ụ tr
từ ị ĩ ề ọ ề tr t ó ị ĩ ề ệ t
số tốt s
ị ĩ F : M
0
M
1
. . . M
t
= M ọ t
ề ệ ề dim M
i
= d
i
ột ệ t số x
= {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ủ
M ợ ọ ệ t số tốt t ứ ớ ọ F ế
M
i
(x
d
i
+1
, x
d
i
+2
, . . . , x
d
)M = 0
ớ ọ i = 1, 2, . . . , t 1

ọ ệ t số tốt t ứ ớ ọ ề ợ ọ ệ t số tốt
ủ M
ét
ế ệ t số x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ệ t số tốt t ứ ớ
ọ F tì x

1
1
, . . . , x

d
d
ũ ệ t số tốt t ứ ớ ọ F ớ ọ
số
1
, . . . ,
d
.
ột ệ t số tốt ủ M ũ ệ t số tốt t ứ ớ t
ỳ ọ t t ề ệ ề ủ M
ổ ề ổ ề tồ t ệ t số tốt ủ M
ứ D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ọ ề ủ M ớ
dim D
i
= d
i
ệ ề 1.3.2 t ó D
i
=

dim(R/p
j
)d
i+1
N
j
tr ó
0 =
n

j=1
N
j
sự tí s t ọ ủ 0 ủ M t
N
i
=

dim(R/p
j
)d
i
N
j
ó D
i
N
i
= 0 dim M/N
i
= d
i
ị ý
r tố sẽ tồ t ột ệ t số x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} t
x
d
i
+1
, x
d
i
+2
, . . . , x
d
Ann M/N
i
r D
i
(x
d
i
+1
, x
d
i
+2
, . . . , x
d
)M
D
i
N
i
= 0.
ổ ề ổ ề x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ệ t số tốt ủ
M ó D
i
= 0 :
M
x
j
ớ ọ j = d
i
+ 1, . . . , d
i+1
, i = 0, 1, . . . , t 1
ó 0 :
M
x
1
0 :
M
x
2
. . . 0 :
M
x
d

ứ ó D
i
0 :
M
x
j
ớ ọ j d
i
t x D
i
ì D
i
ủ M x M r x
j
x (x
d
i
+1
, . . . , x
d
)M
j = d
i
+1, . . . , d ữ x
j
x D
i
s r x
j
x = 0 x 0 :
M
x
j
.
ò ứ r 0 :
M
x
j
D
i
ớ ọ d
i
< j < d
i+1


sử 0 :
M
x
j
D
i
s số ớ t s 0 :
M
x
j
D
s1
ó t s > i 0 :
M
x
j
= 0 :
D
s
x
j
ì d
s
d
i+1
j x
j
tử
t số ủ D
s
dim 0 :
M
x
j
< d
s
ó 0 :
M
x
j
D
s1
ề
ý ớ ệ ọ s 0 :
M
x
j
= D
i

r tế t t sẽ trì ệ ột tí t
tr ủ ợ sử ụ tr
rớ ết t ó ị ĩ s
ị ĩ M ợ ọ
ế ớ ọ ề D : D
0
D
1
. . . D
t
= M ỗ D
i
/D
i1

ớ i = 1, 2, . . . , t
ệ ề tế t ề ệ t ớ ị ĩ

ệ ề ị ý D : D
0
D
1
. . . D
t
= M
ọ ề ủ M ớ dim D
i
= d
i
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
d
) ệ t số
tốt ủ M ó ệ ề s t
(1) M
(2) (x
1
, . . . , x
d
i
) í q tr M/D
i1
ớ i = 1, . . . , t
(3) depth M/D
i1
= d
i
ớ i = 1, . . . , t
ổ ề ệ q x = {x
1
, x
2
, . . . , x
d
} ệ t số
tốt ủ M ó (x
1
, . . . , x
d
)M D
i
=
(x
1
, . . . , x
d
i
)D
i
ớ ọ i = 1, . . . , t 1
ứ ó D
i
ủ M dim D
i
< M M

Xem chi tiết: Đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số