249786

3


gian
{ }
Re >
p
α
. Vì vậy, trên một tập các dữ liệu rời rạc là ñủ ñể xây dựng một xấp xỉ
cho hàm
u
. ðó là một bài toán moment. Trong bài toán (0.1) chúng ta chú ý rằng dãy
hàm
( )
k
x
e
β
−
là hệ ñộc lập tuyến tính và hơn nữa không gian vectơ sinh bởi các dãy sau
ñó là trù mật trong
( )
2
0,
L
∞
.
Trong [11], ðặng ðình Áng, R.Gorenflo, L.K.Vy và ðặng ðức Trọng ñã sử
dụng phương pháp khai triển chặt cụt (the method of truncated expansion).
Trong luận văn này, chúng tôi biến ñổi bài toán (0.1) thành bài toán moment
Hausdorff , bài toán tìm hàm
2
(0,1)u L∈
thỏa

1
0
( ) , 0,1,2,
k
k
u x x dx k
α
µ
= =
∫
(0.4)
trong ñó
( )
k
α
là dãy các số thực phân biệt thỏa:
1
2
k
α
−>
với mọi
0,1,2, k =

và
( )
k
µ
là dãy các số thực bị chặn.
Bài toán (0.4) là bài toán không chỉnh.
Trong [11], Áng, Gorenflo, Vy, Trọng ñã khảo sát trường hợp ñặc biệt của bài
toán (0.4),
( )
k
α
là dãy các số nguyên dương.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ xấp xỉ hàm chưa biết
u
bởi phép chiếu trực
giao trên không gian ñược sinh bởi hệ các ña thức trực giao
( )
0,1,2, i n=
i
L
, trong ñó
i
L
là
ña thức Muntz (Phương pháp moment hữu hạn).
Nội dung của luận văn này dựa trên kết quả bài báo của Dũng, Huy, Quân,
Trọng ([18]), có thêm phần tính số ñể minh họa cho kết quả của bài toán (0.4).

Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau ñây:
Chương mở ñầu là phần giới thiệu tổng quát về bài toán và ñiểm qua các kết quả
trước ñó, ñồng thời giới thiệu bố cục của luận văn.
Chương 1 là phần giới thiệu ký hiệu và các không gian hàm, các hệ trực chuẩn
ñặc biệt trong
( )
2
0,1L
như: ña thức Legendre, ña thức Muntz.


4


Chương 2 khảo sát chi tiết bài toán (0.4), kết quả chính của chương này là ñịnh
lý 2.1 và ñịnh lý 2.4 phương pháp xấp xỉ nghiệm
u
và ñánh giá sai số.
Chương 3 khảo sát bài toán (0.1) dựa trên kết quả ñã trình bày trong chương 2.
Chương 4 là phần tính số minh họa cho bài toán (0.4).
Chương 5 là phần kết luận về các kết quả thu ñược trong luận văn.
Sau cùng là tài liệu tham khảo.















5


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


1.1. Không gian Hilbert
1.1.1. ðịnh nghĩa
Cho
H
là không gian vectơ tuyến tính trên
ℝ
(hay trên
ℂ
). Ta ñịnh nghĩa trên
H
một ánh xạ

H H× → ℝ


( , ) , .x y x y〈 〉֏

Thỏa
i)
, 0,x x x H〈 〉 ≥ ∀ ∈ .

ii)
, 0 0.x x x〈 〉 = ⇔ =

iii)
, , , ,x y y x x y H〈 〉 = 〈 〉 ∀ ∈ .

iv)
, , , , , ,x y z x z y z x y z H
α α α
〈 + 〉 = 〈 〉 + 〈 〉 ∀ ∈ ∈ ℝ; .

Khi ñó ta nói
.,.〈 〉
là một tích vô hướng (dạng Hermite) trên
H
.
Hơn nữa, trên
H
ta có thể ñịnh nghĩa chuẩn của một vectơ thông qua tích vô
hướng

, ,x x x x H= 〈 〉 ∀ ∈
.
Nếu với chuẩn ñịnh nghĩa như trên, mà
H
là không gian Banach thì
H
ñược
gọi là không gian Hilbert.
Khái niệm về tính trực giao

, 0.x y x y⊥ ⇔ 〈 〉 =

M H⊆
, ta kí hiệu :
{ }
: ,M x H x y y M
⊥
= ∈ ⊥ ∀ ∈
là không gian trực giao với
M
.
M H⊆
là không gian vectơ con ñóng. Với mỗi
x H∈
, tồn tại duy nhất
,y M z M
⊥
∈ ∈

thỏa
x y z= +
và


6



( , ) ,d x M x y z= − =

Họ vectơ
( )
i i I
x H
∈
⊂
ñược gọi là hệ trực giao nếu
( )
, , .
i j
x x i j I i j I⊥ ∀ ∈ ≠
là
tập ñánh chỉ số.
Họ vectơ
( )
i i I
x H
∈
⊂
ñược gọi là hệ trực chuẩn nếu
( )
i i I
x
∈
trực giao và
1,
i
x i I= ∀ ∈
.
ðịnh lý 1.1
1) Cho họ
1,
( )
i
i n
x
=
là họ trực giao, ta có
2
2
1 1
.
n n
i i
i i
x x
= =
=
∑ ∑

2) Cho họ
1,
( )
i
i n
x
=
là họ trực chuẩn,
( )
1,
i
i n
t
=
là n số thực hay phức, ta có

2
2
1 1
.
n n
i i i
i i
t x t
= =
=
∑ ∑

3) ðặt
1 2
, , .
n n
X x x x
=
Họ
( )
i i
x
∈
ℕ
là cơ sở trực chuẩn của
H
nếu

H X
∞
∪
n
n=1
=

Khi ñó
i)
x H∀ ∈
, tồn tại duy nhất
1
:
n
n n i i n
i
x X x c x x
⊥
=
∈ = +
∑
,
ii)
1
( , )
n
i i n n
i
x c x x d x X
=
− = =
∑
,
iii)
1
0
n
n
i i
i
x c x
→∞
=
− →
∑
,
iv)
2
2
1
n
i
i
c x
=
≤
∑
(Bất ñẳng thức Bessel),
v)
2 2
1
i
i
x c
∞
=
=
∑
(ñẳng thức Bessel–Parseval),
với
,
i i
c x x= 〈 〉
là hệ số Fourier của
x
ứng với hệ trực chuẩn
( )
i
i
x
∈ℕ
.
1.1.2. Không gian
p
L

Một số ñịnh lý của lý thuyết tích phân.


7


ðịnh lý 1.2 (ðịnh lý hội tụ ñơn ñiệu).
Cho
( )
n
f
là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên
Ω ⊂ ℝ
sao cho
sup
n n
f < ∞
∫
. Khi ñó,
n
f
hội tụ h.k.n (hầu khắp nơi) trên
Ω
về một hàm khả tích trên
Ω
và

( ) ( )
1
0
n n
f f f x f x dx
Ω
− = − →
∫
khi
n → ∞

(
1
.
là chuẩn trong không gian
( )
1
L Ω
).
ðịnh lý 1.3 (ðịnh lý hội tụ bị chặn Lesbesgue).
Cho
( )
n
f
là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên
Ω
. Giả sử
i)
( ) ( )
n
f x f x→
h.k.n trên
Ω
,
ii) tồn tại hàm
g
khả tích sao cho với mỗi
( ) ( )
,
n
n f x g x<
h.k.n trên
Ω
.
Khi ñó
f
khả tích và

( ) ( )
1
0
n n
f f f x f x dx
Ω
− = − →
∫
khi
n → ∞

Hệ quả: Cho
f
là hàm ño ñược và
g
khả tích trên
Ω
. Ta có
Nếu
( ) ( )
f x g x
<
h.k.n trên
Ω
thì
f
khả tích trên
Ω
.
Nếu
f
khả tích thì
f
khả tích và ngược lại.
ðịnh lý 1.4 (Fubini). Cho
F
khả tích trên
1 2
Ω × Ω
. Khi ñó, với hầu hết
1
x ∈ Ω


( ) ( )
,. : ,F x y F x y֏
khả tích trên
2
Ω

và

( )
2
,x F x y dy
Ω
∫
֏
khả tích trên
1
Ω
.
Kết luận tương tự khi ñổi vai trò
x cho
y
,
1
Ω
cho
2
Ω
.
Hơn nữa, ta có

( ) ( ) ( )
1 2 2 1
1 2
, , ,dx F x y dy dy F x y dx F x y dxdy
Ω Ω Ω Ω
Ω ×Ω
= =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.



8


Không gian
( ),1
p
L pΩ ≤ ≤ ∞
.
Giả sử
n
Ω ⊂
ℝ
là một tập ño ñược, ta có các ñịnh nghĩa
Với
1 p≤ < ∞


{
( ) :
p
L f fΩ =
ño ñược trên
,
p
fΩ
khả tích Lebesgue trên
Ω
},
Với
p = ∞


{
( ) :L f f
∞
Ω =
ño ñược trên
Ω
và tồn tại
( )
}
: . .C f x C h k n≤
,
và ký hiệu

( )
( )
1
p
p
p
f f x dx
Ω
=
∫
,

( )
{ }
inf ; . .f C f x C h k n
∞
= ≤
,
là các chuẩn tương ứng.
Không gian
( ),1
p
L pΩ ≤ ≤ ∞
là một không gian ñịnh chuẩn ñầy ñủ
Trong không gian này ta ñồng nhất
( ) ( ) . .f g f x g x h k n= ⇔ =
.
ðặc biệt
2p =
, ta ñịnh nghĩa

{
2
( ) :L f fΩ =
ño ñược trên
2
, fΩ
khả tích Lebesgue trên
Ω
},
với tích trong ñược ñịnh nghĩa
, ( ) ( )f g f x g x dx
Ω
〈 〉 =
∫

và chuẩn
( )
( )
1
2
2
2
f f x dx
Ω
=
∫
, thì
2
( )L Ω
là không gian Hilbert.
ðịnh lý 1.5 (Bất ñẳng thức Holder).
Cho
( )
p
f L∈ Ω
và
( )
q
g L∈ Ω
, với
1 p≤ < ∞
và
1 1
1
p q
+ =
. Khi ñó
( )
1
f g L⋅ ∈ Ω
và

( ) ( )
p q
f x g x dx f g
Ω
≤ ⋅
∫

Tích chập
Cho hai hàm số
f
và
g
xác ñịnh trên
ℝ
thì hàm số
f g
∗
ñịnh bởi

( ) ( ) ( )
f g x f x y g y dy∗ = −
∫
ℝ
,


9


với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, ñược gọi là tích chập của
f
và
g
.
1.1.3. Không gian Sobolev
( ) ( )
1
,H Ω Ω ⊆ ℝ
.

( ) ( )
{
:
c
C f f C
∞ ∞
Ω = ∈ Ω
tức là
f
khả vi vô hạn lần,
}
suppf ⊆ Ω
.
Với
1
p≤ < ∞
(
p ≠ ∞
) thì
( )
c
C
∞
Ω
trù mật trong
( )
p
L Ω
.

( )
1
H Ω =
( )
{
2
u L∈ Ω
: tồn tại duy nhất
( )
2 '
, ,g L u g
ϕ ϕ
Ω Ω
∈ Ω = −
∫ ∫
( )
}
c
C
ϕ
∞
∀ ∈ Ω
,
trong ñó
g
thỏa ñiều kiện trên ñược gọi là ñạo hàm suy rộng của u , ký hiệu
'
u g=
.
Ta ñịnh nghĩa trên
( )
1
H
Ω
tích trong và chuẩn tương ứng như sau

1 2 2
' '
, , ,
H L L
u v u v u v
〈 〉 = 〈 〉 + 〈 〉
,

( )
1 2
2
1
2
2
2
'
.
H L
L
u u u= +

Khi ñó,
( )
1
H Ω
là một không gian Hilbert.
Từ ñây về sau nếu không sợ nhầm lẫn, ta quy ước sử dụng chuẩn
⋅
thay cho tất
cả các chuẩn
2 1 1
, ,
L H L
⋅ ⋅ ⋅
.
1.1.4. Quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt
Cho họ
( )
i i
x H
∈
⊂
ℕ
là các vectơ ñộc lập tuyến tính, nghĩa là

{ }
( )
0
: 0 0, 0,1,2, , , 0,1,2, , ,
n
i i i
i
n a x a i n n
=
∀ ∈ = ⇔ = ∀ = =
∑
ℕ ℕ
.
ðặt

0
0
0
,
x
y
x
=


1
0
, ,
i
i
i i k k k i
k
i
w
w x x y y y
w
−
=
= − 〈 〉 =
∑
.
Thì
( )
i i
y
∈ℕ
là hệ trực chuẩn và hơn nữa

{ } { }
( ) ( )
i i i i
span y span x
∈ ∈
=
ℕ ℕ
.



10


1.2. Các hệ trực chuẩn ñặc biệt trong
( )
2
0,1L

1.2.1. ða thức Legendre
Ta trực giao hóa trong
( )
2
1,1L −
hệ các hàm lũy thừa
2
1, , , , 1 1x x x− < <
thì ta
ñược hệ các ña thức trực giao. Các ña thức cùng bậc của các hệ này chỉ sai khác một
thừa số hằng. Trong các hệ ña thức trực giao này, ta xét hệ sau ñây, ñược gọi là hệ ña
thức Legendre.
1.2.1.1. Dạng ña thức và dạng vi phân

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
0
1
!
1
1 ,
2 !
! !2
n
n
n
k
n
n n
k
k
d t
n k
P t t
n dt
k n k
=
−
+
= − = ⋅
−
∑


( )
0
1, .P t n= ∈ ℕ

Khi ñó, ta có các tính chất
i)
1
1
( ) ( ) 0,
n m
P t P t dt n m
−
= ≠
∫
.
ii)
( )
1
2
1
2
( ) ,
2 1
n
P t dt n
n
−
= ∀ ∈
+
∫
ℕ
.
iii)
( )
n
P t
thỏa phương trình vi phân cấp hai thuần nhất

( )
( )
'
2 '
1 1 0x y n n y
 
− + + =
 
.
Thực vậy, lấy vi phân n+1 lần ñẳng thức

( )
2 '
1 2x u nxu− =

Chú ý

( )
2
1
n
u x= −
,

( )
( )
2 !
n
n
n
u n P x=
,

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1
2 ' 2
1 1 2 1
n
n n n
x u n n u nxu x u
− +
− = − + + −
,

( )
( )
( ) ( )
( )
1
2 2
n
n n
nxu n nu xu
−
= +
.
iv)
( )
{ }
n
n
P t
∈ℕ
là một cơ sở trực giao của không gian
( )
2
1,1L −
.


11


Nếu ñổi biến
1 2t x= −
và ñặt

( ) ( )
2 1 1 2
n n
L x n P x= + −
,
thì hệ
( )
{ }
n
n
L x
∈ℕ
là một cơ sở trực chuẩn trong không gian
( )
2
0,1L
.
1.2.1.2 Dạng tích phân
Theo tính chất iii)
( )
n
P t
là nghiệm của phương trình vi phân

( )
( )
'
2 '
1 1 0x y n n y
 
− + + =
 


( )
( )
2 " '
1 2 1 0x y xy n n y− − + + =
(1.1)
ðặt
( )
( )
( ) ( )
2
0
1
2
1
2
1 ,
p x x
p x x
p x n n n

= − +

= −


= + ∈

ℕ
(1.2)
Ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng

( ) ( ) ( )
C
y x x t v t dt
µ
= −
∫
(1.3)
với
,v
µ
sẽ xác ñịnh sau, trong ñó v là hàm có ñạo hàm cấp hai trên
C
. Trong ñó
C
là
ñường lấy tích phân, ñiều kiện sẽ tìm sau.
Từ (1.1) - (1.3) suy ra

( ) ( )( ) ( ) ( )
{
2 1
0 1
1
C
p x x t p x x t
µ µ
µ µ µ
− −
− − + −
∫


( )( )
}
( )
2
0.
p x x t v t dt
µ
+ − ⋅ =
(1.4)
Biểu diễn
0 1 2
, ,p p p
thông qua
( )
x t
−


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
' "
0 0 0 0
1
2
p x p t p t x t p t x t= + − + −
,

( ) ( ) ( )( )
'
1 1 1
p x p t p t x t
= + −
,

( ) ( ) ( )
2 2
1
p x p t n n
= = +
.
Thế vào (1.4)

( ) ( )( )
{
( ) ( ) ( ) ( )
2 1
'
0 0 1
1 1
C
p t x t p t p t x t
µ µ
µ µ µ µ µ
− −
 
− − + − + −
 
∫



12



( ) ( ) ( ) ( ) ( )
" '
0 1 2
1
1 ( ) 0
2
p t p t p t x t v t dt
µ
µ µ µ

 
+ − + + − =

 
 

.
Thu gọn

( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
2
'
0 0 1
2
1
C
x t x t
p t p t p t v t dt
t t
µ µ
µ
 
∂ − ∂ −
 
 
− − +
 
 
∂ ∂
 
 
∫


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
" '
0 1 2
1
1 ( ) 0
2
C
p t p t p t x t v t dt
µ
µ µ µ
 
 
+ − + + − =
 
 
 
 
∫
. (1.5)
Trong (1.5) ta tìm
µ
thỏa

( ) ( ) ( ) ( )
" '
0 1 2
1
1 0
2
p t p t p t
µ µ µ
− + + =


( ) ( )
1 2 1 0
n n
µ µ µ
− − − + + =


( )
2
1 0
n n
µ µ
− − + + =
. (1.6)

( )
1
n
n
µ
µ
=


= − +


Khi ñó (1.5) tương ñương
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
'
0 0 1
2
1 0
C
x t x t
p t v t p t p t v t dt
t t
µ µ
µ
 
∂ − ∂ −
 
 
− − + =
 
 
∂ ∂
 
 
∫
(1.7)
Tích phân từng phần (1.7) ta ñược
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
'
0 0 1
1
C
p t v t
x t
p t v t p t p t v t x t
t t
µ
µ
µ
 
 
∂
∂ −
 
− + − + −
 
 
 
 
∂ ∂
 
 
 


( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
'
2
0 1
0
2
1
0
C
p t p t v t
p t v t
x t dt
t t
µ
µ
 
 
 
∂ − +
∂
 
 
 
+ + − =
 
∂ ∂
 
 
 
 
∫
. (1.8)
Trong (1.8) ta tìm
( )
v t
thỏa

( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
0
'
0 1
1 0
p t v t
p t p t v t
t
µ
 
∂
 
+ − + =
 
 
 
∂
 
. (1.9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' '
0 0 1
0p t v t p t p t v t
µ
 
+ + =
 

Xem chi tiết: 249786