CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CỦA THẠC SĨ TRẦN ĐÌNH CƯ

LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

4
N
u
( ) ( )f u du F u C

v
( )u u x
cú
o hm liờn tc thỡ:

( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C

b) Phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn
N
u
u, v l hai hm s
cú o hm liờn tc trờn K thỡ:
udv uv vdu

B. TCH PHN
1. Khỏi ni
m tớch phõn
Cho hm s

f liờn t
c trờn K v
a, b K. N
u
F l m
t nguyờn hm ca
f trờn K thỡ:
F(b) F(a) gl tớch phõn c
a
f t

a
n
b v kớ hi
u l
( )
b
a
f x dx

.
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a


i vi bin s ly tớch ph
õn, ta cú th
chn bt kỡ mt ch khỏc thay cho
x, t
c l:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du F b F a

í ngh
a hỡnh hc
: N
u hm s
y = f(x) liờn t
c v khụng õm trờn on [a; b] thỡ din tớch
S c
a
hỡnh thang cong gi
i hn bi th ca
y = f(x), tr
c Ox v hai n
g th
ng
x = a, x = b l:
( )
b
a
S f x dx

2. Tớnh ch
t ca tớch phõn

0
0
( ) 0f x dx


( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx


( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx

(k: const)


( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx


( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx

LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

5
N
u
f(x)

0 trờn [a; b] thỡ
( ) 0
b
a
f x dx

N
u
f(x)

g(x) trờn [a; b] thỡ
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx

3. Phng phỏp tớnh tớch phõn
a) Phng phỏp
i bin s

( )
( )
( ) . '( ) ( )
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du

trong ú: u = u(x) cú
o hm liờn tc trờn
K, y = f(u) liờn t
c v hm hp
f[u(x)] xỏc
nh trờn
K, a, b K.
b) Phng phỏp tớch phõn t
ng phn
N
u
u, v l hai hm s
cú

o hm liờn tc trờn
K, a, b

K thỡ:
b b
b
a
a a
udv uv vdu

Chỳ ý:
C
n xem li cỏc phng phỏp tỡm nguyờn hm.
Trong phng phỏp tớch phõn t
ng phn, ta cn chn sao cho
b
a
vdu

d
tớnh hn
b
a
udv

.
Trong ph
n sau s trỡnh by k thut la chn
u
v
dv
.
LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

6
C. PHN LO
I V PH
NG PHP TNH TCH PH
N:
V
N 1: PHẫP THAY BIN
( )
n
t f x
Phng phỏp: Khi hm d
i du tớch phõn cú cha biu thc cú d
ng
( )
n
f x
. Lỳc ú trong
nhi
u tr
ng hp ( ch khụng phi mi trng hp), ta cú th i bin bng cỏch
- B
c 1: t
1
( ) ( ) '( )
n n
n
t f x t f x nt dt f x dx


- B
c 2: Ghi nh i bin thỡ phi i cõn
BI T
P MU: Tớnh cỏc tớch phõn sau
Bi 1: Tớnh
1
3 2
0
1I x x dx

Gii:

t t =
2
1 x

t
2
= 1 x
2

xdx = -tdt

i cn:
x
0
1
t
1
0
Khi ú:
1
3 2
0
1I x x dx

=

1
2
0
1 . .t t tdt

=

1
2 4
0
t t dt

=
3 5
1
3 5
0
t t




=
2
.
15
Bi 2: Tớnh
1
3
3 4
0
1I x x dx

Gi
i:

t t =
3
4 3 4 3 2
3
1 1
4
x t x x dx t dt

i cn:
x
0
1
t
1
0
LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

7
Khi ú:
1 1
3
3 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1 .
4 16 16
0
I x x dx t dt t

Bi 3: Tớnh
1
1 ln
e
x
I dx
x



Gi
i:

t
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x


i cn:
x
1
e
t
1
2
Khi ú:

2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln
2
.2 2 2 .
3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt
x




Bi 4: Tớnh
2
3
1
1
dx
I
x x



Gi
i:
Ta cú:
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x




t
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx

i cn:
x
1
2
t
2
3
Khi ú:
LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

8



2 2 3 3
2
2
3 3 3
1 1
2 2
2
2 1 1 1
3 3 1 1
1
1 1
3 3
1 1 1 1 1 2 1
ln 1 ln 1 ln ln ln
3 3 1 3 2
2 2
2 1
1 2 1 1 1
ln ln
3 3
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t
t
x x x x
t
t t
t























Bi 5: Tớnh
4
2
7
9
dx
I
x x



Gi
i:

t

2 2 2
2 2
9 9 0 ;
9
dx tdt tdt
t x t x t tdt xdx
x
x t


i cn:
x
7
4
t
4
5
Khi ú:
5
2
4
5
1 3 1 7
ln ln
6 3 6 4
9
4
dt t
t
t





BI T
P P DNG: Tớnh cỏc tớch phõn sau


7
3
3
2
0
ln3
3
0
ln5
ln2
141
1) :
20
1
2) : 1 2
1
20
3) :
3
10 1
x
x
x
x x
x
dx ẹS
x
e
dx ẹS
e
e
dx ẹS
e e







LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

9
4
7
3
4
4
0
8
3
2
1
3 3 3
4) : ln
8 4 2
1 1
1 1 1
5) : ln ln
2 3
1
11
6) ( 2004) : 4ln2
3
1 1
x
dx ẹS
x
dx ẹS
x x
x
dx A ẹS
x












3
2
3
3
1
3
2
ln . 2 ln 3
7) ( 2004). : 3 3 2 2
8
: 2 ln
e
x x
dx Khoỏi B ẹS
x
HD ẹaởt t x




2
3
1 2
2
0
8) . . :
1
x
x
e dx ẹS e e
x




2 3
2
2
5
(KhoỏiA-2003)
1 5
9) . . 4 : ln
4 3
4
dx
ẹaởt t x ẹS
x x



3
2
1
ln 76
10) .(Dửù bũ khoỏi D-2005) ln 1. :
15
ln 1
e
x
dx ẹaởt t x ẹS
x x



2
1 2
1
ln 2 2 2
11) ln . : :
3 3
1 ln
e
x
x dx HD I I I ẹS e
x x






2
1
1 62
12) . 1. : 30ln2
10 3
x x
dx t x DS
x




.
1 1
2 3
0 0
13) sin
1
x
x x dx dx
x



H
ng dn
:
1 1
2 3
0 0
sin
1
x
I x x dx dx
x



Ta tớnh I
1
=
1
2 3
0
sinx x dx


t t = x
3
ta tớnh
c I
1
= -1/3(cos1 - sin1)
Ta tớnh I
2
=
1
0
1
x
dx
x


t t =
x
ta tớnh
c I
2
=
1
2
0
1
2 (1 ) 2(1 ) 2
4 2
1
dt
t




LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

10
S :-1/3(cos1 - 1)+
2
2


5
2
ln( 1 1)
14)
1 1
x
dx
x x



H
ng dn
:
t
1 1t x
. ỏp s
:
2 2
ln 3 ln 2
6
2
15)
2 1 4 1
dx
x x

H
ng
d
n
:t
2
4 1 4 1 2 4t x t x tdt dx
.

6 5 5 5 5
2 2 2
2 3 3 3 3
1
2 1
1
2 1 4 1
1 1
1
2
dx tdt tdt dt dt
I
t
t
x x
t t
t







3 1
ln
2 12

BI T
P B SUNG
LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

11
VN ấ 2: TCH PHN B
NG PH
NG PHP LNG GIC HểA
D
U HIU
CCH
T
2 2
a x
sin vụựi / 2 / 2
cos vụựi 0
x a t t
x a t t








2 2
x a
vụựi t ; \{0}
sin 2 2
vụựi t 0; \
cos 2
a
x
t
a
x
t




















2 2
x a
tan vụựi / 2 / 2
cos vụựi 0<
x a t t
x a t t








hoaởc
a x a x
a x a x


cos2ẹaởt x a t

x a b x

2
sin , 0;
2
x a b a t t





D
NG 1:
2 2
a x
BI T
P MU: Tớnh cỏc tớch phõn sau
Bi 1: Tớnh
2 2 2
0
a
I x a x dx

Gii:
t x = asint,
;
2 2
t





.

dx = acostdt
i cn:
x
0
a
LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

12
t
0
2

Khi ú:
2 2 2
0
a
I x a x dx

=

2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt



=
2
4 2 2
0
sina tcos tdt


=
4
2
2
0
sin 2
4
a
tdt


=

4
2
0
1 4
8
a
cos t dt



=
4
1
sin4
2
8 4
0
a
t t





=
4
16
a

Bi 2: Tớnh
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x



Gi
i:

t x = cost,
;
2 2
t





.

dx = - sint dt

i cn:
x
2
2
4

t
1
0
Khi ú:
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x



=
0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t




=
4
2
0
sin .sint t
dt
cos t


=
2
4
2
0
sin t
dt
cos t


=
4
2
0
1
1 dt
cos t






=

tan
4
0
t t


=
1
4


. (vỡ
0;
4
t





nờn sint
0 sin sint t
)
Bi 3: Tớnh
1
2 2
0
1I x x dx

Gi
i:
LUY
N THI I HC
CH
T LNG CAO
CHUYấN
: TCH PH
N
Gv: Ths.Tr
n ỡnh C.
ST: 01234332133, 0978421673. TP HU

13

t x = sint,
;
2 2
t





.

dx = costdt

i cn:
x
0
1
t
0
2

Khi ú:
1
2 2
0
1I x x dx

=
2
2 2
0
sin 1 sin .t t costdt



=
2
2 2
0
1
sin
4
tcos tdt


=
2
2
0
1
sin 2
4
tdt


=
=

2
0
1
1 4
8
cos t dt



=
1 1
sin4
2
8 4
0
t t





=
16

Tớnh cỏc tớch phõn sau:

3
2
1
3
2
3
2
3 2
2
2
2
2
2
0
8
2
0
1) 4 ; : 2sin :
3
1 3 3
2) ; : 3cos :
27
9
1
3) ; : sin :
8 4
1
4) 16 ; : 4sin
x dx HD ẹaởt x t ẹS
dx HD ẹaởt x t ẹS
x
x
dx HD ẹaởt x t ẹS
x
x dx HD ẹaởt x t














1
2
2
0
5) 1 : sinx dx HD ẹaởt x t


5
2
2
1
1
6) ; : 1 3sin
9 1
dx HD ẹaởt x t
x

Xem chi tiết: CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CỦA THẠC SĨ TRẦN ĐÌNH CƯ